A level与IB数学中，函数值域该怎么求？

 

在A-level与IB数学中，函数（function）一直扮演着重要的角色，虽然单拿出来可能只是纯数学（Pure mathematics）部分中的一个章节，但是几乎在所有的数学题中都会有对函数的考察，而这其中又已如何求解函数的值域（range）为难点，那么今天我们就来说说函数值域该怎么求？
 

首先，最基本的求法就是直接求，可以说这是对于学过以下这些初等函数的同学都能够掌握的方法了.
 

 

 

 

换元法

解一些复杂值域问题时，常用到换元法，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化，明朗化，在减少多项式项数,降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用。
 

那下面我们来看下换元法在实际问题中是怎样应用的
 

 

 

 

 

通过这两道经典例题可以看出利用换元法 , 可以化繁为简 , 化难为易 , 从而找到解决函数值域问题的捷径。

 

 

 

判别式法

将原函数变形得到新方程，把此方程看作关于x的一元二次方程，该方程一定有解，利用方程有解的条件求得y的取值范围，即为原函数的值域。
 

我们同样也看两道例题，如何用判别式法解决考试中的真题。

 

 

 

 

 

 

 

通过这两道题，我相信同学们对于如何运用判别式法求解函数值域已经胸有成竹了。
 

最后我再总结一下什么时候用换元法，什么时候用判别式法，一般对于一个复杂的函数，里面的多项式我们可以运用换元的手段对其化简，对于形如两个二次多项式比值的函数，我们可以运用判别式法对其求值域。
 

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                                                                                             原创：李育霖老师